奥妙的毕氏定理｜星岛教室
2024-12-19 11:40 
我们学习数学一定学习过直角三角形，当中有一个著名的理论——毕氏定理（Pythagorean theorem）。生活中我们不知不觉地应用这个理论。其实毕氏定理不仅是数学中的基础理论，还在现代生活和技术中有许多实际应用，例如过马路、走斜坡、走捷径等，都经常运用毕氏定理。
何谓「毕氏定理」？
这个定理告诉我们，直角三角形中的两条短边的平方和等于长边的平方。这条长边叫做斜边，也是直角对面的那条边。
「毕氏定理」的公式是： a2+b2=c2
a和b是直角三角形的两条边
c是斜边（最长的那条边）
假设一个直角三角形，它的两条边长（a和b）分别是3米和4米。你可以用毕氏定理来计算斜边的长度：32+42=c2，即是，9+16=c2，所以：25=c2，√25=c，5=c。因此，我们可用此方法找出斜边的长度是5米。
生活解难
1. 最短路线
在一条繁忙的街道上，想由红点走到红色箭嘴。你可以先沿着橙色路线，连续过两条斑马线，亦可以直接沿着蓝色路线走，这样更快，更省时间。你可以用毕氏定理来计算这条最短的蓝色路线的距离。
假设其中一条路线长40米，另一路线长30米，你想知道由红点走到红色箭嘴的最短距离，我们可以根据毕氏定理，计算蓝色路线的长度：302+402=蓝色路线2，√2500=蓝色路线，蓝色路线的长度是50米。换言之，如果我们走蓝色路线的路程，比过两条斑马线（30+40=70）短。
2. 滑梯长度
滑梯是我们经常玩的玩具，设计者常须计算滑梯的实际长度，以确保滑行的舒适性和安全性。这个长度可通过毕氏定理来计算，当我们已知滑梯的高度和水平距离时，滑梯长度就是这两者形成的直角三角形的斜边。
图3是一个滑梯，黄色线是1米高，绿色线有1.5米长，黄色线和绿色线是互相垂直，因此可通过毕氏定理来计算红色线滑梯的长度：12+1.52=滑梯长度2，即是√3.25=滑梯的长度，那么滑梯的长度约1.8米。
另外，滑梯的长度和坡度会直接影响滑行的速度和感受。通过计算滑梯的实际长度，设计师便可确保滑梯的坡度不会过于陡峭，从而提供一个既安全又有趣的滑行体验。假若坡度较平缓的滑梯，适合儿童使用，这样，黄色线高度保持不变，而绿色水平线延长至3米，如此绿色水平线与红色斜边的角度会降低，而红色线的长度可利用毕氏定理来计算：平缓滑梯长度=√（12+32）=√103.16米。换言之，如要坡度较低，较平缓的滑梯，需要水平长度和斜边长度较长的滑梯。
3. 最短路径
我们要走出一个面积大的地方，捷径是最快又最省力的方法。如果你在公园的棕榈园，想走到桃花园。你可以有两个选择︰先沿着黑色路线，经过餐厅和厕所，然后再经过第二条黑色路线，再到桃花园，这个方法不但浪费时间，又浪费力气；但走红色路线会更快。这个时候，你可以用毕氏定理来计算这条最短的红色线路程。
假设公园的一边是30米，另一边是40米，你想知道走对角线的最短距离是多少。根据毕氏定理，我们可以计算出从棕榈园到桃花园最近的距离：302+402=棕榈园到桃花园最近的距离2，即是√2500=棕榈园到桃花园最近的距离，因此从棕榈园到桃花园最近的距离是50米。换言之，在一个直角三角形里，构成直角的两条边长长度相加一定是比斜边长，所以斜边是最短的。
GPS计算距离
GPS（全球定位系统）的运作原理中涉及大量数学计算，其中包括毕氏定理的应用。虽然GPS本身运用了更为复杂的数学（如三角测量和相对论效应），但在某些情况下，毕氏定理可用来解决GPS定位中的问题，特别是当我们处理平面距离或简单的距离计算时。
毕氏定理在全球定位系统（GPS）中非常重要。GPS通常依赖于从多颗卫星发送的信号来确定某个物体或人的位置。每颗卫星会发送到达接收器的信号，GPS接收器可根据这些信号计算出两个地方之间的距离。
当然，我们只考虑在地球上水平平面上的定位，就可以使用毕氏定理来进行简化计算。当我们知道某个点的经纬度时，通过毕氏定理就可以计算两点之间的直线距离。
例如：假设GPS确定了两个点的水平位置，该点是红点（经度90度，纬度80度）与黄点（经度120度，纬度40度），即是垂直黄色线是纬度相减（80度-40度）=40单位，而水平黄色线是经度相减（120度-90度）=30单位。此时，我们可用毕氏定理来计算两点之间的直线距离，即平面上最短距离。
根据毕氏定理：
两点距离=√(402+302)=√2500=50单位
因此，红点与黄点之间的直线距离为50单位。这种情况下，GPS接收器可知道自己在平面上的具体位置，并根据位置与其他点距离进行计算。
毕氏定理不仅仅是一个数学公式，它在日常生活中有许多应用。无论是计算斜台的长度、走最短的路，还是GPS上的应用，毕氏定理是一个非常有用的工具来计算平面或空间中的直线距离。无论是在导航、计算水平距离，还是高度差的问题中，毕氏定理都能提供简单而有效解法。希望你能通过这些例子，学会在生活中应用毕氏定理。
小思考，大智慧
如果遇到非直角三角形的生活难题，我们可以应用哪些理论？
参考答案
我们可使用其他数学工具来解决，比如「正弦定理」和「馀弦定理」。这些定理都可以帮助我们处理非直角三角形中的边长和角度计算，并且在很多实际应用中皆非常有用。
本栏逢周四刊登，由教育评议会邀请资深中小学老师、校长及大学讲师撰稿，旨在为学生提供多元化的STEAM学习材料，引发学生探求知识的兴趣，将学习融入生活，培养学生的世界观、敏锐的触觉、积极学习的态度。
文：中华基督教会蒙黄花沃纪念小学数学科主任 叶剑㷨、中华基督教会蒙黄花沃纪念小学老师周伟强博士
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